Sinusfunktion verstehen

Amplitude, Periode und Verschiebungen richtig ablesen

Wir verwenden durchgängig die Standardform f(x) = a · sin(b · (x − c)) + d. Dadurch ist eindeutig, welcher Parameter welche Eigenschaft verändert.

Parameter interaktiv ausprobieren

Die Grundfunktion

f(x) = sin(x)

Die Grundfunktion schwingt zwischen −1 und 1. Ihre Amplitude beträgt 1, ihre Mittellinie ist die x-Achse und ihre Periodenlänge beträgt 2π.

Nach einer vollständigen Periode wiederholen sich sämtliche Funktionswerte.

Die allgemeine Form

a: Amplitude
Die Amplitude ist |a|. Ein negatives a spiegelt den Graphen zusätzlich an seiner Mittellinie.
b: Kreisfrequenz
Die Periodenlänge lautet T = 2π / |b|. Je größer |b|, desto kürzer die Periode.
c: horizontale Verschiebung
Bei (x − c) wird der Graph um c nach rechts verschoben. Ein negatives c verschiebt ihn nach links.
d: vertikale Verschiebung
Die neue Mittellinie lautet y = d.

Ein Beispiel vollständig untersuchen

Gegeben ist die Funktion:

f(x) = 3 · sin((π / 6) · (x − 3)) − 2

Amplitude und Wertebereich

Es gilt a = 3. Die Amplitude beträgt daher 3. Wegen der Mittellinie d = −2 reicht der Graph von −2 − 3 = −5 bis −2 + 3 = 1.

Periodenlänge

Hier ist b = π/6. Damit gilt T = 2π ÷ (π/6) = 12. Nach zwölf x-Einheiten wiederholt sich der Verlauf.

Horizontale Verschiebung

Der Ausdruck (x − 3) verschiebt den Graphen um 3 Einheiten nach rechts. Bei x = 3 durchläuft die Kurve ihre Mittellinie aufsteigend.

Vertikale Verschiebung

Durch d = −2 liegt die Mittellinie bei y = −2. Alle Hoch- und Tiefpunkte verschieben sich entsprechend nach unten.

Häufige Fehler vermeiden

  • b ist nicht die Periodenlänge. Erst T = 2π/|b| liefert die Länge einer Periode.
  • Die Klammer entscheidet über die Verschiebung. sin(b(x − c)) verschiebt um c; sin(bx − c) verschiebt dagegen um c/b.
  • Die Amplitude ist nicht a, sondern |a|. Eine Amplitude ist immer nichtnegativ.
  • d verschiebt die Mittellinie. Der Wertebereich lautet [d − |a|; d + |a|].
Nächster Schritt: Stelle das Beispiel in der interaktiven Sinus-App ein und verändere anschließend jeden Parameter einzeln.