Wenn die Parabel nicht symmetrisch liegt
Bei drei beliebigen bekannten Punkten ist die Normalform f(x) = ax² + bx + c zweckmäßig. Durch Einsetzen der Punkte entsteht ein lineares Gleichungssystem für a, b und c.
Modellierungsaufgaben
Aus Spannweite und Höhe eine Parabel bestimmen
Brückenbogen, Flugbahn oder Talsenke: Sind zwei Nullstellen und der Scheitelpunkt bekannt, lässt sich die passende quadratische Funktion direkt in Scheitelpunktform aufstellen.
Das symmetrische Grundmodell
Wir legen die erste Nullstelle in den Ursprung und die zweite bei der Spannweite s fest. Der Scheitelpunkt liegt dann genau in der Mitte bei S(s/2 | h).
f(x) = a · (x − s/2)² + h mit a = −4h / s²
Korrektur gegenüber der früheren Fassung: Eine negative Spannweite kann kein negatives a erzeugen, weil die Spannweite quadriert wird. Bei einem Bogen oberhalb der x-Achse gilt h > 0 und deshalb a < 0. Bei einer Mulde unterhalb der x-Achse gilt h < 0 und deshalb a > 0.
Interaktiver Rechner
Parabel aus zwei Maßen erzeugen
Die Nullstellen liegen bei 0 und s. Positive Höhen ergeben einen nach unten geöffneten Bogen.
Streckfaktor a−0,05
ScheitelpunktS(10 | 5)
Nullstellenx₁ = 0; x₂ = 20
Symmetrieachsex = s/2
Vorgehen in vier Schritten
- Koordinatensystem festlegen. Setze die erste Nullstelle bei x = 0 und die zweite bei x = s.
- Scheitelpunkt eintragen. Wegen der Symmetrie liegt er bei S(s/2 | h).
- Streckfaktor berechnen. Setze die Nullstelle (0 | 0) in die Scheitelpunktform ein. Daraus folgt a = −4h/s².
- Ergebnis prüfen. Setze x = 0, x = s und x = s/2 ein. Die Funktionswerte müssen 0, 0 und h ergeben.
Wenn Scheitelpunkt und ein Punkt bekannt sind
Nutze f(x) = a(x − xS)² + yS und setze den zusätzlichen Punkt ein. So lässt sich a direkt bestimmen.