Lineare Funktion verstehen

Steigung, Achsenabschnitt und Nullstelle sicher bestimmen

Eine lineare Funktion hat die Form f(x) = m · x + b. Mit wenigen klaren Schritten kannst du ihre Gleichung aufstellen und den Graphen vollständig beschreiben.

Parameter interaktiv ausprobieren Aus zwei Punkten modellieren

Die Grundform

f(x) = m · x + b

Der Graph ist eine Gerade. Für jeden Schritt nach rechts ändert sich der Funktionswert immer um denselben Betrag.

m: Steigung: m > 0: Die Gerade steigt. m < 0: Sie fällt. m = 0: Sie verläuft waagerecht.
b: y-Achsenabschnitt: Die Gerade schneidet die y-Achse im Punkt (0 | b).

Steigung aus zwei Punkten

Für P₁(x₁ | y₁) und P₂(x₂ | y₂) gilt:

m = (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁)

Der Nenner darf nicht null sein. Zwei Punkte mit demselben x-Wert bilden eine senkrechte Gerade und damit keine Funktion der Form f(x) = mx + b.

Beispiel

f(x) = −1,5x + 6 untersuchen

Wir lesen alle wichtigen Eigenschaften systematisch aus der Gleichung ab.

Steigung ablesen: m = −1,5 = −3/2. Gehst du 2 Einheiten nach rechts, fällt die Gerade um 3 Einheiten.
y-Achsenabschnitt markieren: b = 6. Der erste sichere Punkt ist deshalb (0 | 6).
Einen zweiten Punkt bestimmen: Vom Punkt (0 | 6) gehst du 2 nach rechts und 3 nach unten. So erhältst du (2 | 3).
Nullstelle berechnen: Setze f(x) = 0: 0 = −1,5x + 6. Daraus folgt x = 4, also N(4 | 0).

Gleichung aus zwei Punkten

Gegeben seien P₁(1 | 3) und P₂(5 | 11). Dann gilt m = (11 − 3)/(5 − 1) = 2. Mit P₁ folgt 3 = 2 · 1 + b und damit b = 1.

f(x) = 2x + 1

Häufige Fehler

Bei der Steigung Zähler und Nenner nicht vertauschen.
Für beide Differenzen dieselbe Punktreihenfolge verwenden.
b ist nicht automatisch der y-Wert eines beliebigen Punktes.
Für die Nullstelle immer f(x) = 0 setzen.

Nächster Schritt: Prüfe das Beispiel in der interaktiven App oder bestimme in der Modellierungs-App eine Gerade aus eigenen Messpunkten.